さて、今回は二面体群の中でもD4(正四角形の対称性を表現する群)と呼ばれる構造が、まさに4-4相愛数❤︎❤︎❤︎の姿かたちを規定しているという事実をお話したいと思います。じつはD4と相愛数というまったく異なる世界に住むと思われる二つの概念を仲介するものが4次プレーン超格子体なのです。
このような連続する自然数を順番に配置した格子体において4-4相愛数❤︎❤︎❤︎がどのようにあらわれるかというと、
ごらんのようにブルーの四数とピンクの四数はきわめてシンメトリックな配置をとります。このような対称性がいかなる対称性であるかということをたしかめるために、ここでわたしたちは二面体群(D4)で用いた操作を借用することにします。
まず、σという操作は時計回りに90度回転させるという操作でしたが、このような変換をプレーン超格子体内部のブルーの四数に適用するとどうなるか？
どうでしょうか。柄はそのままに保たれ、内部で格子数が移動(2→9,8→2,15→8,9→15)するということが起きています。さらにくりかえし、σを実行してゆくと、
やはり、柄は維持され、ブルーの格子数のポジションだけが移り変わってゆくことになります。さて同じことはブルーではなくピンクの四数の組についても起こりえます。つまり、4次プレーン超格子体における4-4相愛数❤︎❤︎❤︎ポジションはσ (90度回転)という操作に関して不変であるということが言えるというわけです。では次に、
もう一つの操作であるτ(反転)という操作によっては何が起こるのか？ あるいはσとτを組み合わせた操作によって何が起こるのか？ 興味のある方はぜひ、コチラ(↓)の動画でご確認ください。
