今回は8次正規相愛魔方陣を「正規相愛魔方陣」を使って8つのグループに分割する興味深い方法をご紹介します。
やり方は簡単です。正規相愛魔方陣を二つ用意しますが、一方は時計回りに90度回転させます。
わたしたちはこれらをそれぞれ0度回転体、90度回転体と呼ぶことにします。そして、これらをどうするのかというと行列の積でかけあわせてしまいます。
手計算では大変なので計算サイトの力を借ります。
積の結果はこうなります。
どうでしょう。じっくりごらんください。新たに生成された格子数たちを見て何か気づくことはないでしょうか？
はい、たとえば、このブルーの「ななめ」ラインに注目しますと、ここにならんでいる数たちはいずれも6040という数で揃っています。あるいは、これと左右反転の関係にあるピンクの「ななめ」ラインについても∙∙∙
こちらにも同じ数がならんでいるのが確認されます。いや、このように重複する数たちで構成されるグループはこればかりではありません。内部格子数をくまなく調べてみますと、
はい。どの色付き格子も8つづつあわられます。つまり、0度回転体×90度回転体は同一数によって全格子数の個数を均等8分割することができてしまうということです。柄だけに注目しましょう。
はい。なんとなくシンメトリックな構造を感じます。この柄に組みこまれている対称性を明らかにするために色ごとに分けてみましょう。
どうでしょうか。これら8種の柄はいずれも左右反転して相互変換されるペアを有しているようです。そして、それ以外にもこれらの柄については、じつに興味深い共通点があります。それはなにか？ どの行、どの列についても色付きの格子は一つづつしか存在していない。そのような配置になっているのです。
