さて、今回はウルトラ魔方陣の回転体ファミリーたちが織りなす美しい恒等式についてご紹介させていただきます。
ウルトラ魔方陣❶型を例とりましょう。この魔方陣には四つの回転体ファミリーたち(時計回りに90度×nづつ回転させたもの)が存在しています。
それでは、この四つの魔方陣を全部、足し合わせてみましょう。足し合わせるというのは、どういうことかというと、ここでは同じ位置にある格子数の総和をとるということです。魔方陣を四次の正方行列とみなし行列の和をとるというのと同じです。するとこの結果は、
はい。すべて同じ数できれいに揃います。このようなことは対称魔方陣構造をもつウルトラ魔方陣のすべて（❶～❽）について起こります。では、次に回転体ファミリーの中から0度回転体と180度回転体の二つを選び、行列の積でかけあわせてみます。
ではでは。ここで0度回転体×180度回転体を、180度回転体×0度回転体というふうに積の順を入れ替えてみたいと思います。通常、このような変更を行うと異なる結果を生むのが常ということになりますが、どうなることでしょう。
こちらをごらんください。奇妙なことにウルトラ魔方陣においてはこの限りではないようです。
何が起こったかわかりますか？ 先の結果とよく見比べてみてください。ここでみているのは、0度回転体×180度回転体=180度回転体×0度回転体という美しい関係です。そして、このような恒等式は❶～❽のすべてのウルトラ魔方陣において成立します。
またここでは0度回転体→90度回転体、180度回転体→270度回転体と読み替えることも可能です。あるいは、全回転体ファミリーを勢揃いさせ次のような関係を示すこともできるでしょう。
他にもウルトラ魔方陣の回転体をつかって、さまざまな美しい関係を見出すことができます。興味のある方はぜひ、こちらの動画（↓）でご確認ください。
